Dr.LUKE'S iDLE UTTERANCE

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数学で苦労した人＝数我苦の人も、数学は数楽と言う方も、ちょっと一息ついてください。

問題：次のSの値を求めよ。

$S=1+2+3+4+5+\cdot \cdot \cdot$

おい、バカにするな！とお怒りにならぬように・・・まあ、普通は無限大ですよね。ところが・・・昨日のゼータ関数を用いるとこうなるのです。

$\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdot \cdot \cdot$

において、s=-1とすると、上のSになります。で、今ちょっと複雑な計算で

$\zeta (-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}$

ここのB_nはベルヌーイ数と呼ばれ、次の漸化式で帰納的に定義されます。

$B_{0}=1, B_{n}=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_{k}$

で、実際の数値をあげますと、B₁=-1/2、B₂=1/6・・・。よって、

$S=\zeta (-1)=-\frac{B_{2}}{2}=-\frac{1}{12}$

要するに

$1+2+3+4+5+\cdot \cdot \cdot =-\frac{1}{12}$

ええええっ！？はい、お暇な方はよく考えてみてください。そうです、数学は常識を超えているのです！

低級かつくだらん神学などより、数学する方がよほど神を知ることができると言うと、ニッポンキリスト教の神学の先生たちに怒られるか・・・？あえて挑発的に書いてみる（＾＾）

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